Komposisi Fungsi dan Invers Contoh soal dan penyelesaian - Sensei11

KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS

Fungsi Komposisi 

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

Fungsi Invers

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f^-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f^-1 (x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:

Pertama

Ubah persamaan y =  f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua

Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f^-1(y)

Ketiga

Ubah y menjadi x [f^-1(y) menjadi f^-1(x)]

Contoh Soal 1

·  Diketahui f(x) = -(2 - 3x)/ 2, maka f^-1(x) sama dengan ...

A. 2/3 (1 + x)
B. 2/3 (1 - x)
C. 3/2 (1 + x)
D. -2/3 (1 + x)
E. -3/2 (x - 1)

Pembahasan 
f(x) = -(2 - 3x)/ 2
f(x) = (-2 + 3x)/2
⇒ y = (-2 + 3x)/2
⇒ 2y = -2 + 3x
⇒ 2y + 2 = 3x
⇒ x = (2y + 2)/3
Jadi f^-1(x) = (2x + 2)/3
⇒ f^-1(x) = 2(x + 1)/3
⇒ f^-1(x) = 2/3 (x + 1) ---> opsi A.

Contoh Soal 2

·  Invers dari fungsi f(x) = (7x + 5)/(3x - 4), x ≠ 4/3 adalah ...

A. (4x + 5)/ (3x - 7), x ≠ 7/3
B. (7x + 5)/ (3x + 4), x ≠ -4/3
C. (5x + 7)/ (4x - 3), x ≠ 3/4
D. (7x + 4)/ (3x - 5), x ≠ 5/3
E. (7x + 4)/ (3x + 5), x ≠ -5/3

Pembahasan 
f(x) = (7x + 5)/(3x - 4)
⇒ y = (7x + 5)/(3x - 4)
⇒ 3xy - 4y = 7x + 5
⇒ 3xy - 7x = 4y + 5
⇒ (3y - 7)x = 4y + 5
⇒ x = (4y + 5)/ (3y - 7)
Jadi  f^-1(x) = (4x + 5)/ (3x - 7) ; x ≠ 7/3 ---> opsi A.
Syarat x ≠ 7/3 karena agar 3x - 7 ≠ 0.

Contoh Soal 3

·  Jika f(x - 1) = (x - 1)/ (2 - x) dan f^-1 adalah invers dari f maka f^-1(x + 1) sama dengan ...

A. -1/ (x + 1)
B. x/ (x + 1)
C. (x + 1)/ (x + 2)
D. (x - 1)/ (x - 2)
E. (2x + 1)/ (x + 2)

Pembahasan 
f(x - 1) = (x - 1)/ (2 - x)
⇒ f(x) = x/(1 - x)
⇒ y = x/(1 - x)
⇒ y - xy = x
⇒ y = x + xy
⇒ y = (1 + y)x
⇒ x = y/ (1 + y)
maka f^-1(x) = x/ (1 + x)
⇒ f^-1(x + 1) = (x + 1) / (1 + x + 1)
⇒ f^-1(x + 1) = (x + 1) / (x + 2) ---> opsi C.

Contoh Soal 4

·  Jika (f o g)(x) = 4x² + 8x - 3 dan g(x) = 2x + 4, maka f^-1(x) sama dengan ...

A. x + 9
B. 2 + √x
C. x² - 4x - 3
D. 2 + √(x + 1)
E. 2 + √(x + 7)

Pembahasan 
g(x) = 2x + 4
(f o g)(x) = 4x² + 8x - 3
⇒ f(g(x)) = 4x² + 8x - 3
⇒ f(2x + 4) = 4x² + 8x - 3
⇒ f(x) =  x² - 4x - 3 ---> a = 1, b = -4, dan c = -3
⇒ f^-1(x) = {-b ± √(b² - 4a(c -x)}/ 2a

⇒ f^-1(x) = {4 ± √(16- 4(-3 -x)}/ 2

⇒ f^-1(x) = {4 ± √(16 + 12 + 4x)}/ 2

⇒ f^-1(x) = {4 ± √(28 + 4x)}/ 2

⇒ f^-1(x) = {4 ± √(4(7 + x))}/ 2

⇒ f^-1(x) = {4 ± 2√(7 + x)}/ 2 

⇒ f^-1(x) = 2 ± √(7 + x) ---> opsi E.

 Contoh Soal 5

·  Diketahui f(x) = (4x + 5)/ (x + 3), dan f^-1 adalah invers dari f, maka sama f^-1(x) dengan ...

A. (-3x - 5)/ (x + 4), x ≠ -4
B. (-3x + 5)/ (x - 4), x ≠ 4
C. (3x + 5)/ (x - 4), x ≠ 4
D. (3x - 5)/ (x - 4), x ≠ 4
E. (3x + 5)/ (x + 4), x ≠ -4

Pembahasan 
f(x) = (4x + 5)/ (x + 3)
⇒ y = (4x + 5)/ (x + 3)
⇒ yx + 3y = 4x + 5
⇒ yx - 4x = 5 - 3y
⇒ (y - 4)x = 5 - 3y
⇒ x = (5 - 3y)/ (y - 4)
maka  f^-1(x) = (5 - 3x)/ (x - 4) ; x ≠ 4 ---> opsi B.
syarat x ≠ 4 agar x - 4 ≠ 0.

Contoh Soal 6:

Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...

Jawab:

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x

(f o g)(x) = 3(2x)-4

(f o g)(x) = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x

(g o f)(x) = 2(3x-4)

(g o f)(x) = 6x-8

Syarat Fungsi Komposisi

Contoh Soal 7

·  Diketahui f : x → x + 2 dan h : x → x² - 2. Jika (f o g o h)(x) = 2x² + 4, maka g(x) adalah ...

A. 2x + 3
B. 2x + 6
C. 2x + 9
D. x + 5
E. x - 3

Pembahasan
f(x) = x + 2
h(x) = x² - 2
(f o g o h)(x) = 2x² + 4
⇒ f(g(h(x))) = 2x² + 4
⇒ f(g(x² - 2)) = 2x² + 4
⇒ g(x² - 2) + 2 = 2x² + 4
⇒ g(x² - 2) = 2x² + 2
misalkan  x² - 2 = a maka x = √(a + 2)
⇒ g(a) = 2{√(a + 2)}² + 2
⇒ g(a) = 2.(a + 2) + 2
⇒ g(a) = 2a + 4 + 2
⇒ g(a) = 2a + 6
Jadi, g(x) = 2x + 6

BACA JUGA : 

Contoh soal dan pembahasan tentang eksponen (perpangkatan)

      Contoh Soal 8

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.

Tentukan fungsi g (x).

Pembahasan :

   (f o g) (x)      = -4x + 4

      f (g (x))      = -4x + 4

2 (g (x)) + 2     = -4x + 4

        2 g (x)      = -4x + 2

           g (x)      =  -4x + 2

                                      2

           g (x)      = -2x + 1

Jadi fungsi g (x) = -2x + 1

Contoh Soal 9

 Diketahui fungsi f(x) = 3x - 1 dan g(x) = 2x² + 3. Nilai dari komposisi fungsi (g o f)(x) sama dengan ...

A.18x²-12x+5
B.18x²-12x-5
C.18x²+12x+5
D.18x²+12x-5
E.8x²-12x+5

Pembahasan 
f(x)=3x-1
g(x)=2x²+3
(gof)(x)=g(f(x)
⇒(gof)(x)=2(3x-1)²+3
⇒(gof)(x)=2(9x²-6x+1)+3
⇒(gof)(x)=18x²-12x+23
⇒ (g o f)(x) = 18x² - 12x + 5 ---> opsi A.

Contoh Soal 10

 Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = (x - 1)/ (x + 4) ; x ≠ -4, maka (f o g)(x) sama dengan ...

A.(7x-2)/(x+4),x≠4
B.(2x+3)/(x+4),x≠4
C.(2x+2)/(x+4),x≠4
D.(7x+18)/(x+4),x≠-4
E.(7x+22)/(x+4),x≠-4

Pembahasan 
f(x)=2x +5
g(x)=(x-1)/(x+4);x≠-5
(fog)(x)=f(g(x)
⇒(fog)(x)=2{(x-1)/(x+4)}+5
⇒ (f o g)(x) = {(2x - 2)/ (x + 4)} + 5(x + 4)/ (x + 4) ---> penyebut disamakan.
⇒ (f o g)(x) = {(2x - 2)/ (x + 4)} + {(5x + 20)/ (x + 4)}
⇒ (f o g)(x) = (2x - 2 + 5x + 20)/ (x + 5)
⇒ (f o g)(x) = (7x + 18)/ (x + 4)
⇒ (f o g)(x) = (7x + 18)/ (x + 4) ; x ≠ - 4 ---> opsi D.

RANGKUMAN KOMPOSISI FUNGSI DAN INVERS

1. Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

2. Sifat-Sifat Fungsi

a. Fungsi f : A→B merupakan fungsi satu-satu (injektif) jika

    setiap anggota yang berbeda di A memiliki pasangan di B yang berbeda.

b. Fungsi f : A→B merupakan fungsi pada (subjektif) jika setiap anggota di B memiliki pasangan di A sehingga range f sama dengan B atau f (A) = B.

c. Fungsi f : A→B merupakan fungsi satu-satu dan pada (bijektif) jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi satu-satu (injektif) dan fungsi pada (subjektif).

d. Fungsi f pada A merupakan fungsi identitas jika f memasangkan setiap anggota A dengan dirinya sendiri.

e. Fungsi f : A→B merupakan fungsi konstan jika setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan hanya satu anggota himpunan B.

3. Pengertian Komposisi Fungsi

a. Fungsi f (x) = g (f (x)) adalah komposisi fungsi f dan g, sehingga f (x) disebut fungsi komposisi.

b. F : x → (g o f) (x) = g (f (x)).

4. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

a.    Operasi komposisi pada fungsi umumnya tidak komutatif, artinya (f o g) ≠ (g o f).

b.    Pada komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, yaitu (f o g) o h = f o (g o h).

c.    Missal I adalah fungsi I(x) = x dan memenuhi f o I = I o f = f maka I adalah fungsi identitas.

5.  Pengertian Fungsi Invers

Jika fungsi f : A→B yang mempunyai peta f (a) = b maka invers f adalah fungsi g : B→A dengan peta g(b) = a.

6. Invers dari fungsi y = f (x) adalah x = f ^–1 (y)

7. Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi

(gof)–1 (x) = (f ^–1 o g^–1) (x)

BACA JUGA :

Contoh Soal Dan pembahasan Integral Matematika kelas 11

Mahendra Putra

Blogger, Digital Marketing, Online Shop

Share this post