Fungsi Eksponensial dan Logaritma - Sensei11

                                           Fungsi Eksponensial dan Logaritma

A.   Fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial adalah fungsi yang peubah bebasnya berupa pangkat. Fungsi ini memetakan setiap bilangan real x ke bilangan real , dengan a > 0 dan a ≠ 1. Dalam bentuk umum, fungsi eksponensial dituliskan sebagai berikut.

F: x àka^x  dan  y= f(x)= ka^x

Keterangan :
1. X adalah peubah bebas, dengan daerah asal (domain) D_f= {x|x  R}
2. a adalah bilangan pokok atau basis eksponen, dengan ketentuan a>0 dan a≠1
3. y adalah peubah tak bebas, dengan daerah hasil (range) R_f= { y|y >0, y  R}
4.  k adalah konstanta sembarang

Contoh soal :

1.      Diketahui fungsi eksponensial yang dirumuskan sebagai f(x)= 3^x. Tentukan hasil pemetaan untuk x= {-2, -1, 0, 1, 2}.

Penyelesaian :
f(x)= 3^x
x= -2 dipetakan ke f(-2)= 3^-2 =
x= -1 dipetakan ke f(-1)= 3^-1 =
x= 0 dipetakan ke f(0)= 3⁰ = 1
x= 1 dipetakan ke f(1)= 3¹= 3
x= 2 dipetakan ke f(2)= 3² = 9

B.   1. Pangkat Rasional
Sifat-sifat bilangan berpangkat rasional adalah sebagai berikut. Untuk a dan b bilangan real (a≠0, b≠0), p dan q bilangan rasional, berlaku hubungan berikut :

a.      a^p.a^q = a^p+q

b.      a^p:a^q = a^p-q

c.       (a^p)^q = a^pq

d.      1) (ab)^p =a^p.b^q
2) (a:p)^{p =} a^p:b^q

e.      1) a^-p = 1/a^p
2) a^p = 1/a^-p

f.        a⁰ = 1

g.      a^q =  = ( )^p
p bilangan bulat, q bilangan asli lebih dari 1. Dan  R

Contoh soal :

1.      Sederhanakan bentuk dari x^5/4.x^1/4
Penyelesaian :
x^5/4.x^1/4= x^4/5+1/4= x^6/4

2.      Sederhanakan bentuk dari y³:y⁵
Penyelesaian :
y³:y⁵ = y^3-5 = y^-2 =

3.      Nyatakan dalam eksponen rasional
penyelesaian :

 =

2.    Bentuk-Bentuk Persamaan Eksponensial

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang di dalamnya terdapat eksponen dengan bilangan pokok atau eksponennya berbentuk fungsi suatu peubah. Contoh-contoh persamaan eksponensial adalah sebagai berikut :
a. 4^x+3= 8
b. 36^x-3 = 6^x-3
c. (x+1) ^+3x-4= 1
d. (x+1)^2x-3 = (x+1)^x+2

Bentuk-bentuk persamaan eksponensial dan teknik penyelesaiannya dapat kita lihat pada tabel berikut :

Perrsamaan Eksponensial	Penyelesaian dari Persamaan Eksponensial
1.      af(X)= 1 dengan a>0 dan a≠1	f(x)= 0
2.      af(X)= ap dengan a>0 dan a≠1	f(x)= p
3.      af(X)= ag(x) dengan a>0 dan a≠1	f(x)= g(x)
4.      af(X)= bf(x)  dengan a>0 dan a≠1                   dengan b>0 dan a≠1	f(x)= 0
5.      hf(X)= hg(x)	1.      f(x)= h(x) 2.      h(x)= 1 3.      h(x)= 0 dengan syarat f(x)>0, g(x)>0 4.      h(x)= -1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya genap ataau keduanya ganjil
6.      f(x)g(x)= h(x)g(x)	1.      f(x)=h(x) 2.      g(x)= 0 dengan syarat f(x)≠0 dan h(x)≠0
7.      f(x)g(x)= 1	1.      f(x)= 1 2.      f(x)= -1 syarat g(x) genap 3.      g(x)= 0 syarat f(x)≠0
8.      A(af(x))2 + B(af(x))2 + C = 0	Misalkan af(x) = y sehingga diperoleh Ay2+By+C=0. Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut akan diperoleh nilai y. Penyelesaian dari persamaan eksponensial bentuk ini dapat diperoleh dengan mensubstitusikan kembali nilai y ke persamaan af(x) = y

Contoh soal :

1.      Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 8^x2-2x= 1
Penyelesaian :
8^x2-2x= 1
x²-2x = 0
x(x-2)= 0
x=0 atau x= 2

2.      Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 3^x2-7x+10= 8^x2-7x+10

Penyelesaian :
3^x2-7x+10= 8^x2-7x+10

X²-7x+10 = 0
(x-2)(x-5)= 0
x= 2 atau x= 5
Jadi, himpunan penelesaiannya adalah {2, 5}

3.      Tentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponensial 4^x-10x.2^x+16=0
Penyelesaian :
4^x-10x.2^x+16=0
(2^x)²-10.2^x+16
Misalnya 2^x= y, diperoleh persamaan kuadrat sebagai berikut.
y²-10y+16= 0
(y-2)(y-8)= 0
y= 2 atau y= 8
Untuk y= 2 diperoleh nilai x sebagai berikut
2^x= 2 à x= 1
Untuk y= 8 diperoleh nilai x sebagai berikut.
2^x= 8 à 2^x= 2³à x= 3
Jadi, himpunan penyelesaian adalah {1, 3}

BACA JUGA : 

CONTOH SOAL DAN PEMBAHSAN INTEGRAL

C.    1. Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma pada dasarnya merupakan invers dari fungsi eksponensial. Hal ini dapat dipahami dengan melihat adanya kesetaraan antara sifat-sifat logaritma dan eksponen.
x = a^y à^alog x = y  dengan a>0 dan a≠0

Definisi
Fungsi logaritma adalah fungsi yang peubah bebasnya berupa bentuk logaritma. Pat Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponensial.

Fungsi logaritma f dengan bilangaan pokok atau basis a dapat dituliskan dalam bentuk f:x à^alog x atau y=  f(x)= ^alog x
Keterangan
1. X adalah peubah bebas atau numerus dan berlaku sebagai daerah asal (domain) fungsi f, yaitu D_f = {x|x > 0,  R}
2. a adalah bilangan pokok atau basis logaritma dengan ketentuan a>0 dan a
3. Y adalah peubah tak bebas dn berlaku sebagai daerah hasil (range) fungsi, yaitu R_f= {y|y }

BACA JUGA : 

CONTOH SOAL DAN PEMBAHSAN EKSPONEN 

2. Grafik Fungsi Logaritma

Grafik fungsi logaritma y= ^alog x, dengan a>0, a≠1, dan x>0 dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponensial y= a^x, dengan a>0 dana≠1 terhadap garis y= x.
Y

       

D.   Persamaan Logaritma
1. Sifat-sifat Logaritma
Sifat :
a.^a  = 1 ; ^alog 1= 0 ; ^alog aⁿ= n
b. ^{a a}log x + ^alog y
c. ^alog  = ^alog x - ^alog  ; . ^alog = ^-alog
d. ^alog x^y = y ^alog x
e. ^{a x} log y = ^alog y

f. a^{alog x} = x

Contoh soal  :

1. Nyatakan dalam bentuk logaritma 2⁵= 32
     Penyesaian :
      2⁵= 32 à²log 32 = 5
2. Nyatakan dalam bentuk logaritma p⁶ = q
    Penyelesaian :
     p⁶ = q à^plog q = 6

2. Bentuk-bentuk Persamaan Logaritma
Pengertian persamaan logaritma mudah dipahami dengan memerhatikan beberapa persamaan berikut :
a. ³log (x-2)  - ⁹log (4x-8) = 0
b. ^(5-4x)log(x²-7x-5) = log 10
Pada persamaan a, hanya numerusnya yang memuat peubah x. Adapun pada ersamaan b, numerus dan bilangan pokoknya memuat peubah x. Persamaan-persamaan berbentuk seperti di atas disebut persamaan logaritma.

No.	Persamaan Logaritma	Penyelesaian dari Persamaan Logaritma
1. 2. 3. 4. 5.	alog f(x) = alog p alog f(x) = blog f(x) dengan a ≠ b alog f(x) = alog g(x) f(x)log g(x) = f(x)log h(x) A[alog f(x)]2 + B[alog f(x)] + C + 0	f(x) = p, dengan syarat f(x) > 0 f(x) = 1 f(x) = g(x), dengan syarat f(x) > 0 dan g(x)> 0 g(x) = h(x) dengan syarat: 1)      g(x) > 0 dan h(x) > 0 2)      f(x) > 0 dan f(x) > 0 Misalkan alog f(x) = y, sehingga diperoleh Ay2+By+C=0. Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat di atas, maka diperoleh nilai y. Penyelesaian persamaan dari logaritma bentuk ini dapat diperoleh dengan mensubstitusikan kembali nilai y ke persamaan alog f(x)=y

E.    Aplikasi Fungsi dan Persamaan Eksponensial dan Logaritma

Dalam kehidupan sehari-hari banyak kita jumpai hal-hal yang menunjukkan adanya pertumbuhan (bertambah) dan peluruhan (berkurang ata menyusut).

Misalnya, tanaman mengalami pertumbuhan, jumlah penduduk bertambah, elemen-elemen radioaktif luruh, atau harga mesin mengalami penyusutan. Perilaku pertumbuhan dan peluruhan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan eksponensial.

Mahendra Putra

Blogger, Digital Marketing, Online Shop

Share this post